Многопараметрическая оптимизация

     При решении исследовательских задач связанных с поиском рационального сочетания сразу нескольких параметров двигателя, таких как степень сжатия, опережение впрыска, диаметр, число и направленность сопел распылителя, форма камеры сгорания, интенсивность вихря, фазы газораспределения, параметры турбонаддува и др. зачастую бывает трудно спланировать и обработать численный эксперимент с большим количеством варьируемых факторов. В этом случае очень эффективным средством является многопараметрическая оптимизация, когда поиск рационального сочетания варьируемых факторов возлагается на формальную процедуру нелинейного программирования, а исследователю остается только грамотно сформулировать задачу оптимального поиска и проанализировать полученное решение. 

Целевая функция:

    Показатели эффективности двигателя или отдельных его процессов могут быть включены в целевую функцию:
Z_j = Z_j (X_k).
Нахождение экстремума целевой функции является задачей оптимизации.

Вектор независимых переменных:

    Набор конструктивных параметров двигателя, за счет выбора величины которых планируется достичь экстремума целевой функции составляет вектор независимых переменных X_k .

Ограничения:

   Как правило при поиске оптимального сочетания конструктивных параметров двигателя необходимо контролировать его тепловую и механическую напряженность,   также уровень эмиссии вредных веществ и другие контрольные факторы которые ограничивают область оптимального поиска и являются ограничениями.  Ограничительные параметры, также как и целевая функция зависят от независимых переменных Y_i = Y_i (X_k).

    Аналитической связи между целевой функцией и ограничениями с одной стороны и вектором независимых перменных с другой стороны не существует, поэтому для их вычисления используется математическая модель комбинированного ДВС.

     Таким образом, задача оптимизации процессов в ДВС сводится к задаче нелинейного программирования, т.е. отыскания оптимума   функции многих переменных Z_j при  выполнении условий (ограничений): Y_{i min} < Y_i < Y _{i max}.  Наличие ограничений существенно усложняет решение оптимизационных задач, поэтому целесообразно свести задачу условной оптимизации к задаче безусловной оптимизации, алгоритмы для которой гораздо лучше разработаны. Эффективным способом учета ограничений является   метод штрафных функций. Суть метода состоит в том, что к минимизируемой целевой функции   добавляются штрафы, возрастающие при нарушении ограничений. В общем случае минимизируемая функция, с которой работает поисковая процедура безусловной оптимизации имеет вид:

где:         C_zj              - коэффициент влияния оптимизируемого параметра Z_j;

- относительная величина   нарушения ограничения Yi;

- относительная величина выхода  независимой переменной Xk за пределы области допустимых значений;

     Средние значения независимых переменных и величин ограничений вычисляются программно как средние арифметические от максимального и минимального значений.
     Коэффициенты влияния оптимизируемых параметров устанавливаются программой автоматически.
     Выбор коэффициентов штрафа, максимальных и минимальных  значений параметров оптимизации X_k и ограничений Y_i, а также выбор показателя двигателя, который будет использоваться как целевая функция Z_j осуществляется пользователем в оболочке программного комплекса ДИЗЕЛЬ-РК, путем заполнения соответствующих таблиц .

Библиотека алгоритмов программного комплекса ДИЗЕЛЬ-РК .

     Для поиска экстремума функции многих переменных  F могут быть использованы различные процедуры из библиотеки комплекса, содержащей 14 поисковых методов. Большое количество методов необходимо для   проверки полученных решений. Если решение задачи разными методами приводит к одному и тому же результату, то можно с большей уверенностью утверждать что полученное решение действительно оптимально.

      Подробно ознакомиться с используемыми в комплексе ДИЗЕЛЬ-РК алгоритмами оптимального поиска можно в следующих публикациях :
- Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование.- М.:Мир, 1975.-535 с.
- Численные методы условной оптимизации / М.Дж.Д.Пауэлл, Ф.Гилл, У.Мюррей и др.  М.:Мир, 1977.-290 с.
- Hooke R., Jeeves T.A. Direct Search Solution of Numerical аnd Statistical Problems. S. Assoc. Computer. Mach. 8,1962, pp.212- 229.
- Nelder J.A., Mead R. Computer J., 7, 1964, pp.368.
- Rosenbrok H.H. Computer J., 3,1960, pp.175.
- Powell M.J.D. Computer J., 7,1964, pp.155; 7,1965, pp.303.
- Pearson J.D. Computer J., 13,1969, pp.171.
- Flatcher R., Powell M.J.D. Computer J., 6,1963, pp.163-168.
- Flatcher R., Reeves C.M. Computer J., 7,1964, pp.149.
- Полак Э. Численные методы оптимизации, Мир, 1974, с.65

    Теория нелинейного программирования не дает ответа на вопрос о том, какие методы лучше, а какие хуже, поэтому при выборе методов следует руководствоваться собственным опытом решения оптимальных задач в той или иной области и учитывать специфику алгоритма.

     Методы нулевого порядка (не использующие частных производных целевой функции по независимым переменным):
- Метод покоординатного спуска;
- Метод деформируемого многогранника;
- Метод Розенброка;
- Метод Пауэлла 0.

     Методы первого порядка (использующие частные производные* целевой функции по независимым переменным):
- Метод наискорейшего спуска;
- Метод тяжелого шарика;
- Метод Флетчера-Ривса;
- Метод Полака-Рибьера;
- Проективный метод Ньютона-Рафсона;
- Метод Давидсона-Флетчера-Пауэлла;
- Метод Бройдена (ранг 1);
- Метод Пирсона 2;
- Метод Пирсона 3.
     * Частные производные вычисляются численным методом.

Метод случайного поиска:  Монте-Карло.

     Все алгоритмы, хотя и с разной эффективностью, позволяют находить решение оптимизационных задач. Разработчики программного комплекса могут лишь посоветовать использовать градиентные методы в тех случаях, когда ожидаемое решение лежит далеко от стартовой точки.

     Неплохо работают методы "наискорейшего спуска" и "тяжелого шарика".

     При уточнении решения, когда стартовая точка находится поблизости, можно рекомендовать метод "деформируемого многогранника".

     Еще одна рекомендация касается использования программного комплекса на ЭВМ с невысокой производительностью: при решении задач с числом независимых переменных 5 и более, лучше пользоваться методами нулевого порядка, дабы избежать ощутимых затрат на вычисление частных производных.

     Метод "Монте-Карло" рекомендуется  использовать на производительных ЭВМ, при проведении предварительных исследований.  Причем целесообразно задавать  большой ресурс итераций (500-800), и задачу оптимизации ставить с большим числом независимых переменных. Последующий анализ протокола оптимального поиска может навести на интересные решения в разных частях области определения (могут быть отслежены локальные оптимумы, которые можно затем использовать в качестве стартовых точек для других процедур).

     Большинство поисковых методов используют процедуру отыскания минимума функции одной переменной. Эта процедура, в процессе работы делает "шаги" по аргументам или в направлении градиента, размер этих шагов вычисляется  автоматически, направление шагов определяется алгоритмом поиска. Библиотека программы ДИЗЕЛЬ-РК содержит  4 известных процедуры одномерной минимизации:
- Метод квадратичной аппроксимации;
- Метод квадратичной аппроксимации с локализацией точки минимума;
- Метод Фибоначчи;
- Метод золотого сечения.

     Использование программы оптимизации особенно эффективно при решении задач форсирования двигателей, при разработке новых конструкций, а также при проведении модернизации направленной на снижение расхода топлива и эмиссии вредных веществ.

     Пример использования механизма оптимизации приведен в статье: Многопараметрическая оптимизация параметров среднеоборотного судового дизеля при его форсировании на 25%.

СКАНИРОВАНИЕ

     Если задача оптимизации какого-либо процесса может быть сформулирована как двумерная (число независимых переменных равно двум), то для решения такой задачи целесообразно использовать аппарат сканирования. Возможность наглядного графического отображения целевой функции и ограничений сразу от двух аргументов помогает лучше осмыслить количественные закономерности происходящих процессов и принять оптимальное решение.

Пример отображения результатов сканирования в виде 3D графика и  семейств изолиний: 
Влияние угла окончания выпуска и угла начала впуска на коэффициент наполнения Eta_v и удельный эффективный расход топлива SFC 4 тактного дизеля.

Пример отображения результатов того же сканирования в виде укрупненного 3D графика

     Использование аппарата сканирования позволяет быстро находить эффективные решения при доводке рабочего процесса двигателей.

Вернуться на Главную страницу